Роман Яремчук родился во Львове 27 ноября 1995 года. И до 11 лет занимался в школе львовских Карпат. После этого игрок перешел в школу киевского Динамо.
Стоит внимания Как Яремчук открыл счет в матче Украины с Казахстаном: видео
Именно в академии Динамо Яремчук рос, переходя из команды одного возраста в другой. Так он дорос до второй команды Динамо, и в 2012 году подписал свой первый профессиональный контракт с клубом. Хотя путь в главную команду был не близким – Яремчук продолжал выступать за команды U-19 и U-21. А также за Динамо-2, которое тогда выступало в Первой лиге.
Дебют в главной команде Динамо состоялся аж 1 марта 2016 года в кубковом матче против Александрии. Он вышел в старте, но в перерыве был заменен.
Уже летом 2016 года Яремчук отправился в аренду в Александрию. За 17 матчей он забил 6 голов (в том числе самый быстрый гол в УПЛ на 8-й секунде матча). Но посередине сезона вернулся в Динамо. Там забить хотя бы один гол так и не удалось. Летом 2017 года Яремчук был продан в бельгийский Гент.
3 апреля 2021 года было опубликовано интервью Романа Яремчука. Среди прочего зашел вопрос о том, согласился ли бы он перейти в Шахтер, который является главным конкурентом Динамо. Так как Яремчук является воспитанником киевского клуба.
"Меня же Динамо, можно сказать, выбросило на улицу. Так еще и заработало на мне деньги. Я считаю Шахтер топ-клубом Европы. Почему бы нет? Посмотрим", – ответил Яремчук.
После этого среди болельщиков вспыхнули споры, может ли воспитанник Динамо перейти к главному конкуренту – Шахтеру. Хотя сам Яремчук сейчас за Динамо не выступает. А киевляне получат до 30% от будущего трансфера Яремчука в любой другой клуб.