Роман Яремчук народився у Львові 27 листопада 1995 року. І до 11 років займався у школі львівських Карпат. Після цього гравець перейшов до школи київського Динамо.
Варте уваги Як Яремчук відкрив рахунок у матчі України з Казахстаном: відео
Саме в академії Динамо Яремчук зростав, переходячи з команди одного віку до іншого. Так він доріс до другої команди Динамо, і в 2012 році підписав свій перший професійний контракт з клубом. Хоча шлях до головної команди був не близьким – Яремчук продовжував виступати за команди U-19 та U-21. А також за Динамо-2, яке тоді виступало в Першій лізі.
Дебют в головній команді Динамо відбувся аж 1 березня 2016 року в кубковому матчі проти Олександрії. Він вийшов у старті, але в перерві був замінений.
Вже влітку 2016 року Яремчук відправився в оренду до Олександрії. За 17 матчів він забив 6 голів (у тому числі найшвидший гол в УПЛ на 8-й секунді матчу). Але посередині сезону повернувся в Динамо. Там забити бодай один гол так і не вдалося. Влітку 2017 року Яремчук був проданий у бельгійський Гент.
3 квітня 2021 року було опубліковано інтерв'ю Романа Яремчука. Серед іншого зайшло питання про те, чи погодився б він перейти в Шахтар, який є головним конкурентом Динамо. Адже Яремчук є вихованцем київського клубу.
"Мене ж Динамо, можна сказати, викинуло на вулицю. Так ще й заробило на мені гроші. Я вважаю Шахтар топ-клубом Європи. Чому б ні? Подивимося", – відповів Яремчук.
Після цього серед вболівальників спалахнули суперечки, чи може вихованець Динамо перейти до головного конкурента – Шахтаря. Хоча сам Яремчук зараз за Динамо не виступає. А кияни отримають до 30% від майбутнього трансферу Яремчука в будь-який інший клуб.