Форвард збірної України Яремчук зі Львова, тому дитиною розпочав свій шлях у ДЮСШ Карпат, згодом перебрався до Динамо. Саме київському клубу Роман завдячує власним розвитком, про що він неодноразово говорив у інтерв'ю.
Читайте також Яремчук зізнався, чому змінив Бенфіку на Брюгге
Кар'єра футболіста у Яремчука поступово набирала обертів, найкращим сезоном юнака став 2011/2012, тоді Роман вийшов на показник: гол – за матч.
Своєю грою Яремчук звернув на себе увагу тренерського штабу Динамо. Ще не закінчивши Академію, він опинився серед тих, хто взимку отримав шанс поїхати на тренувальний збір із Динамо-2.
Форвард таки підписав контракт із киянами, вже після закінчення Академії та вдало там дебютував.
Олександрія
У 2016 Роман пішов у оренду в Олександрію, але повернувся до лав Динамо ще наприкінці сезону.
Виступи Романа Яремчука були результативними / Sport.ua
В складі містян, у матчі Ворскла — Олександрія, Роман Яремчук забив найшвидший гол в історії українського футболу — на 8-й секунді.
Гент
Кар'єра Яремчука в УПЛ перервалась – її заповнила європейська сторінка, відтак Роман Яремчук приміряв на себе звання легіонер.
16 серпня 2017 року було офіційно оголошено про трансфер футболіста до бельгійського клубу Гент. А 1 листопада 2020-го в матчі проти Васланд-Беверен оформив свій перший у кар'єрі хет-трик.
Бенфіка
Влітку 2021 року Роман перейшов у португальську Бенфіку. Небагато українців досягали успіху у Португалії, але Яремчук зміг здивувати "орлів".
Під час повномасштабного вторгнення Яремчук виступав за "Бенфіку" / Football.ua
Роман дебютував у складі Бенфіки у матчі третього кваліфікаційного раунду Ліги Чемпіонів проти московського Спартака, на 90+2 хвилині матчу після удару Романа Самюель Жиго зрізав м'яч у власні ворота.
Після матчу з росіянами Бенфіка перейменувала свій офіційний твітер-акаунт на його честь на 24 години, назвавшись "SL Benficachuk".
Проте завоювати прихильність українцям в португальському футболі непросто, у Бенфіці дуже велика конкуренція та дуже високі вимоги до гравців.
Брюгге
Яремчук повернувся у Бельгію – 29 серпня 2022 року з'явилась інформація про трансфер Романа в Брюгге, його придбали за 16 мільйонів євро, а також "докинули" 3 мільйони євро, як бонуси.
Таким чином, українець Яремчук – найдорожчий гравець чемпіонату Бельгії. Яремчук став одноклубником ще одного українця – Едуарда Соболя, який вже не перший рік у Брюгге.
Все б нічого, якби фанати Гента не сприйняли перехід Яремчука в Брюгге, як зраду – Роману неодноразово діставалось від вболівальників ексклубу – міцним слівцем чи образливим банером.