Футбольну кар'єру Рамаза Шенгелія почав у Кутаїський "Торпедо", а потім виступав за тбіліське "Динамо", в складі якого у 1981 році став володарем Кубка Кубків Європи.
У чемпіонатах СРСР він провів 283 матчі, забив 120 голів. У 1981 році став кращим бомбардиром чемпіонату СРСР. Визнавався кращим футболістом СРСР 1978 і 1981 років. Провів 26 матчів за збірну СРСР.
Колишній воротар тбіліського "Динамо" і збірної СРСР Отар Габелія заявив журналістам, що "несподівана кончина Рамаза Шенгелія — велика втрата для всіх, хто захоплювався його футбольним талантом".